Matemática básica Ejemplos

\frac{y - 1}{y^{2} + 4 y + 3} + \frac{9}{y^{2} + y}

$\frac{y - 1}{y^{2} + 4 y + 3} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza

y^{2} + 4 y + 3

$y^{2} + 4 y + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

3

$3$ y cuya suma es

4

$4$ .

1, 3

$1, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}$

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Paso 1.2

Factoriza

y

$y$ de

y^{2} + y

$y^{2} + y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza

y

$y$ de

y^{2}

$y^{2}$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y}$

Paso 1.2.2

Eleva

y

$y$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y^{1}}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza

y

$y$ de

y^{1}

$y^{1}$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y \cdot 1}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza

y

$y$ de

y \cdot y + y \cdot 1

$y \cdot y + y \cdot 1$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}$

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}$

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Paso 2

Para escribir

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{y}{y}

$\frac{y}{y}$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Paso 3

Para escribir

\frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{9}{y (y + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{y + 3}{y + 3}$ .

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de

(y + 1) (y + 3) y

$(y + 1) (y + 3) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

1

$1$ .

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Paso 4.1

Multiplica

\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ por

\frac{y}{y}

$\frac{y}{y}$ .

\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Paso 4.2

Multiplica

\frac{9}{y (y + 1)}

$\frac{9}{y (y + 1)}$ por

\frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{y + 3}{y + 3}$ .

\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de

(y + 1) (y + 3) y

$(y + 1) (y + 3) y$ .

\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\frac{(y - 1) y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{(y - 1) y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{y \cdot y - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y \cdot y - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.2

Multiplica

y

$y$ por

y

$y$ .

\frac{y^{2} - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.3

Reescribe

- 1 y

$- 1 y$ como

- y

$- y$ .

\frac{y^{2} - y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} - y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{y^{2} - y + 9 y + 9 \cdot 3}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 9 \cdot 3}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.5

Multiplica

9

$9$ por

3

$3$ .

\frac{y^{2} - y + 9 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.6

Suma

- y

$- y$ y

9 y

$9 y$ .

\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$

\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}

$\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$