Matemática básica Ejemplos

$\frac{y - 1}{y^{2} + 4 y + 3} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} + 4 y + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $y^{2} + y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y}$

Paso 1.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{9}{y (y + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 1) (y + 3) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{9}{y (y + 1)}$ por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y + 1) (y + 3) y$ .

$\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y - 1) y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{y^{2} - y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 9 \cdot 3}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$

Paso 6.6

Suma $- y$ y $9 y$ .

$\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$